Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( \sqrt{4+2f\left( \...

* Hướng dẫn giải

Với \(x\in \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right)\) ta có \(0<\cos x\le 1\) từ đồ thị suy ra \(-2\le f\left( \cos x \right)<0.\)

Do vậy \(0\le 4+2f\left( \cos x \right)<4\) từ đây ta được \(0\le \sqrt{4+2f\left( \cos x \right)}<2.\)

Lại từ đồ thị ta có \(-2\le f\left( \sqrt{4+2f\left( \cos x \right)} \right)<2\) suy ra phương trình \(f\left( \sqrt{4+2f\left( \cos x \right)} \right)=m\) có nghiệm khi và chỉ khi \(-2\le m<2.\)

Xét với \(m\in \mathbb{Z}\) ta chọn \(m\in \left\{ -2;-1;0;1 \right\}.\)

Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( \sqrt{4+2f\left( \cos x \right)} \right)=m\) có nghiệm \(x\in \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right).\)