Ba bạn tên Học, Sinh, Giỏi mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn \(\left[ 1;19 \right].\) Tính xác suất để ba số viết ra có tổng chia hết cho 3

* Hướng dẫn giải

Mỗi bạn có 19 cách để viết ra số mình chọn nên không gian mẫu có \(n\left( \Omega  \right)={{19}^{3}}=6859\) cách.

Gọi \(A\) là biến cố 3 số được viết ra của 3 bạn có tổng là một số chia hết cho 3.

Ta đặt \({{S}_{1}}=\left\{ 1;4;7;10;13;16;19 \right\}\) là tập hợp các số tự nhiên trong đoạn \(\left[ 1;19 \right]\) khi chia cho 3 thì dư 1.

\({{S}_{2}}=\left\{ 2;5;8;11;14;17 \right\}\) là tập hợp các số tự nhiên trong đoạn \(\left[ 1;19 \right]\) khi chia cho 3 thì dư 2.

\({{S}_{3}}=\left\{ 3;6;9;12;15;18 \right\}\) là tập hợp các số tự nhiên trong đoạn \(\left[ 1;19 \right]\) chia hết cho 3.

Khi đó biến cố \(A\) xảy ra khi và chỉ khi các số của mỗi bạn viết ra cùng thuộc một tập \({{S}_{i}}\left( i=1;2;3 \right)\) hoặc ba số của 3 bạn viết ra thuộc về 3 tập phân biệt, khi đó ta có

\(n\left( A \right)={{7}^{3}}+{{6}^{3}}+7.6.6.6=2287\) cách

Vậy xác suất để ba số viết ra có tổng chia hết cho 3 là \(P\left( A \right)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega  \right)}=\frac{2287}{6859}.\)