Hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật với \(AB=3,BC=4,SC=5.\) Tam giác \(SAC\) nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với \(\left( ABCD \right).\) Các mặt \(\left( SAB \right...

* Hướng dẫn giải

Kẻ \(SH\bot AC\left( H\in AC \right)\) vì \(\Delta SAC\) nhọn.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {SAC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AC\\ SH \bot AC \end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right).\)

Kẻ \(MB\bot AC\Rightarrow MB\bot \left( SAC \right)\Rightarrow MB\bot SA,\left( 1 \right).\)

Ta có \(AC=SC=5\) nên \(\Delta SAC\) cân tại \(C. \)

Gọi \(E\) là trung điểm của \(SA\) nên \(SA\bot EC,\) kẻ \(MN//EC\left( N\in SA \right)\) nên \(SA\bot MN\left( 2 \right).\)

Từ (1), (2) suy ra \(SA\bot \left( MNB \right)\Rightarrow \widehat{BNM}=\alpha .\)

Ta có \(\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }=1+{{\tan }^{2}}\alpha \Rightarrow \tan \alpha =\sqrt{\frac{1}{{{\left( \frac{3}{\sqrt{29}} \right)}^{2}}}-1}=\frac{2\sqrt{5}}{3}.\)

Trong \(\Delta ABC:MB=\frac{AB.BC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}=\frac{12}{5},AM=\sqrt{A{{B}^{2}}-M{{B}^{2}}}=\frac{9}{5}.\)

Trong \(\Delta BMN:MN=\frac{MB}{\tan \alpha }=\frac{18\sqrt{5}}{25}.\)

Trong \(\Delta SAC:\frac{AM}{AC}=\frac{MN}{EC}=\frac{\frac{9}{5}}{5}=\frac{9}{25}\) suy ra \(EC=\frac{25MN}{9}=2\sqrt{5}.\)

Ta có \(SA=2SE=2\sqrt{S{{C}^{2}}-E{{C}^{2}}}=2\sqrt{5}\)

Và \(SH.AC=SA.EC\Leftrightarrow SH=\frac{SA.EC}{AC}=\frac{2\sqrt{5}.2\sqrt{5}}{5}=4.\)

Vậy thể tích khối chóp là \(V=\frac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.4.3.4=16.\)