Cho phương trình \({{27}^{x}}+3x{{.9}^{x}}+\left( 3{{x}^{2}}+1 \right){{3}^{x}}=\left( {{m}^{3}}-1 \right){{x}^{3}}+\left( m-1 \right)x,m\) là tham số. Biết rằng giá trị \(m\) nhỏ...

* Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho tương đương

\({{\left( {{3}^{x}} \right)}^{3}}+3x.{{\left( {{3}^{x}} \right)}^{2}}+\left( 3{{x}^{2}}+1 \right){{.3}^{x}}=\left( {{m}^{3}}-1 \right){{x}^{3}}+\left( m-1 \right)x\)

\(\Leftrightarrow {{\left( {{3}^{x}}+x \right)}^{3}}+{{3}^{x}}+x={{\left( mx \right)}^{3}}+mx\left( * \right)\)

Xét hàm số \(f\left( u \right)={{u}^{3}}+u,f'\left( u \right)=3{{u}^{2}}+1>0,\forall u\in \mathbb{R}.\)

Phương trình (*) tương đương \(f\left( {{3}^{x}}+x \right)=f\left( mx \right)\)

Nên \({{3}^{x}}+x=mx\Leftrightarrow m=\frac{{{3}^{x}}}{x}+1,x>0.\)

Xét hàm số \(g\left( x \right)=\frac{{{3}^{x}}}{x}+1,x>0.\)

Ta có \(g'\left( x \right)=\frac{{{3}^{x}}\left( x\ln 3-1 \right)}{{{x}^{2}}}\Rightarrow g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x={{\log }_{3}}e.\)

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(m \ge g\left( {{{\log }_3}e} \right) = 1 + e\ln 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ b = 3 \end{array} \right..\)