Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx-1\) với \(m\) là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số đạt cực trị tại hai điểm \({{x}_{1}};{{x}_{2}}\) thỏa mãn \...

* Hướng dẫn giải

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)

Ta có: \(y'=3{{x}^{2}}-6x+m\)

Hàm số đã cho có cực trị \(\Leftrightarrow y'=0\) có hai nghiệm phân biệt.

Hay: \(\Delta '=9-3m>0\Leftrightarrow m<3.\left( 1 \right)\)

Khi đó y' = 0 có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2\\ {x_1}.{x_2} = \frac{m}{3} \end{array} \right.\)

Theo bài ra: \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=6\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=6\Leftrightarrow {{2}^{2}}-\frac{2m}{3}=6\Leftrightarrow m=-3\) (thỏa mãn (1)).

Vậy với \(m=-3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.