Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a,\) cạnh bên bằng \(3a.\) Tính thể tích \(V\) của hình chóp đã cho.

* Hướng dẫn giải

Gọi \(O=AC\cap BD. \)

Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên \(SO\bot \left( ABCD \right).\)

Theo bài ra ta có: \(OA=\frac{1}{2}AC=a\sqrt{2}.\)

Xét tam giác \(SOA\) vuông tại \(O\) ta có: \(SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3a \right)}^{2}}-{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=a\sqrt{7}.\)

Diện tích hình vuông \(ABCD\) bằng: \({{S}_{ABCD}}={{\left( 2a \right)}^{2}}=4{{a}^{2}}.\)

Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng: \({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SO.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.a\sqrt{7}.4{{a}^{2}}=\frac{4\sqrt{7}{{a}^{3}}}{3}.\)