Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,SA\bot \left( ABCD \right),SA=a\sqrt{3}.\) Gọi \(M\) là điểm trên đoạn \(SD\) sao cho \(MD=2MS.\) Khoảng cách giữa h...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(AB//CD\) nên \(AB//\left( SCD \right),\) mà \(CM\subset \left( SCD \right).\)

Do đó \(d\left( AB,CM \right)=d\left( AB,\left( SCD \right) \right)=d\left( A,\left( SCD \right) \right).\)

Kẻ \(AH\bot SD\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} CD \bot AD\\ CD \bot SA \end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow AH \bot CD.\)

Khi đó \(AH\bot \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SCD \right) \right)=AH.\)

Xét tam giác \(SAD\) vuông tại \(A,AH=\sqrt{\frac{S{{A}^{2}}.A{{D}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\sqrt{\frac{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}.{{a}^{2}}}{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)

Vậy \(d\left( AB,CM \right)=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)