Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) vuông tại \(A,AB=a\sqrt{3},AC=AA'=a.\) Sin góc giữa đường thẳng \(AC'\) và mặt phẳng \(\left( BCC'B' \right)\) bằng

* Hướng dẫn giải

Trong mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) kẻ \(AH\bot BC\) với \(H\in BC. \)

Do \(BB'\bot \left( ABC \right)\Rightarrow BB'\bot AH.\) Suy ra \(AH\bot \left( BCC'B' \right).\)

Khi đó góc giữa đường thẳng \(AC'\) và mặt phẳng \(\left( BCC'B' \right)\) là góc giữa đường thẳng \(AC'\) và đường thẳng \(HC'\) hay là góc \(\widehat{AC'H}.\)

Ta có \(BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=2a;AC'=AC\sqrt{2}=a\sqrt{2}\)

Khi đó trong tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(AH.BC=AB.AC\Leftrightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{a\sqrt{3}.a}{2a}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)

Trong tam giác \(AHC'\) vuông tại \(H\) ta có: \(\sin \widehat{AC'H}=\frac{AH}{AC'}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}.\)