Phương trình \(\log _{2}^{2}x={{\log }_{2}}\frac{{{x}^{4}}}{2}\) có nghiệm là \(a,b.\) Khi đó \(a.b\) bằng

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(x>0\)

Phương trình \(\log _{2}^{2}x={{\log }_{2}}\frac{{{x}^{4}}}{2}\Leftrightarrow \log _{2}^{2}x={{\log }_{2}}{{x}^{4}}+{{\log }_{2}}2\Leftrightarrow \log _{2}^{2}x-4{{\log }_{2}}x-1=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _2}x = 2 + \sqrt 5 \\ {\log _2}x = 2 - \sqrt 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = {2^{2 + \sqrt 5 }}\\ x = {2^{2 - \sqrt 5 }} \end{array} \right.\)

Tích hai nghiệm là \({2^{2 - \sqrt 5 }}{.2^{2 + \sqrt 5 }} = {2^4} = 16.\)