Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) phương trình \(f\left( \sqrt{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x+\frac{1}{2} \right)=f\l...

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t=\sqrt{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x+\frac{1}{2},\) ta có:

\(t-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\left( \frac{2\sqrt{2}}{3}\sin x+\frac{1}{3}\cos x \right)=\frac{3}{2}\left( \sin x\cos \alpha +\cos x\sin \alpha  \right)\) (Với \(\cos \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3})\)

\(\Leftrightarrow t-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\sin \left( x+\alpha  \right).\)

Suy ra: \(-\frac{3}{2}\le t-\frac{1}{2}\le \frac{3}{2}\Leftrightarrow -1\le t\le 2.\)

Từ đồ thị hàm số suy ra: \(t\in \left[ -1;2 \right]\Leftrightarrow -1\le f\left( t \right)\le 5.\)

Vậy để phương trình \(f\left( \sqrt{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x+\frac{1}{2} \right)=f\left( m \right)\) có nghiệm thì \(-1\le f\left( m \right)\le 5.\)

Từ đồ thị suy ra: \(m\in \left\{ -2;-1;0;1;2;3 \right\}.\) Vậy có 6 giá trị nguyên của m