Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ ​ Hàm số \(f\left( \sin x \right)\) nghịch biến trên các khoảng nào sau đây.

* Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) ta có:

\(f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 0<x<\frac{1}{2};f'\left( x \right)>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x>\frac{1}{2} \\ & x<0 \\ \end{align} \right.\)

Đặt \(g\left( x \right)=f\left( \sin x \right)\Rightarrow g'\left( x \right)=\cos x.f'\left( \sin x \right).\) Ta chỉ xét trên khoảng \(\left( 0;\pi  \right).\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \cos x.f'\left( {\sin x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ f'\left( {\sin x} \right) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ \sin x = 0\\ \sin x = \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2}\\ x = \frac{\pi }{6}\\ x = \frac{{5\pi }}{6} \end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số \(g\left( x \right)=f\left( \sin x \right)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( \frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2} \right)\) và \(\left( \frac{5\pi }{6};\pi  \right)\)