Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh bằng a. Gọi \(M,N\) và \(P\) lần lượt là trung điểm của \(A'B';B'C'\) và \(C'A'.\) Tính thể tích của khối đa diện lồi \(...

* Hướng dẫn giải

Ta có: \({{V}_{A.A'PM}}={{V}_{B.B'MN}}={{V}_{C.C'NP}}\)

\({{V}_{ABC.MNP}}={{V}_{ABC.A'B'C'}}-{{V}_{A.A'PM}}-{{V}_{B.B'MN}}-{{V}_{C.C'NP}}={{V}_{ABC.A'B'C'}}-3.{{V}_{A.A'PM}}\)

\({{V}_{ABC.A'B'C'}}={{S}_{\Delta ABC}}.h=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.a=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}\)

\({{S}_{\Delta A'PM}}=\frac{1}{4}{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{16}\)

\({{V}_{A.A'PM}}=\frac{1}{4}.{{S}_{\Delta A'PM}}.h=\frac{1}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{16}.a=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48}\)

\({{V}_{ABC.MNP}}={{V}_{ABC.A'B'C'}}-3.{{V}_{A.A'PM}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}-3.\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48}=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}\)