Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D,AB=2a,AD=DC=a,SA=a\sqrt{2},\) \(SA\bot \left( ABCD \right).\) Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng \(...

* Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm AB, ta thấy ngay AMCD là hình vuông. \(MBCD\) là hình bình hành.

Suy ra \(BC//DM\) mà \(DM\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BC\bot \left( SAC \right)\) để chứng minh \(DC\bot \left( SAD \right).\)

Trong tam giác vuông \(SAD\) vuông tại A vẽ đường cao \(AR\) như hình ta có \(AR\bot \left( SDC \right)\) và \(AR=\frac{SA.AD}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\frac{\sqrt{6}}{3}a.\)

Trong tam giác vuông \(SAC\) vuông tại A vẽ đường cao AQ như hình ta có \(AQ\bot \left( SBC \right)\) và \(AQ=\frac{SA.AC}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=a.\)

Vậy góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) và \(\left( SCD \right)\) là góc giữa AR và AQ chính là góc \(\widehat{RAQ}=\alpha .\)

Tam giác ARQ vuông tại R có \(\cos \alpha =\frac{AR}{AQ}=\frac{\sqrt{6}}{3}.\)