Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) là \(f'\left( x \right)={{m}^{2}}{{x}^{4}}-m\left( m+2 \right){{x}^{3}}+2\left( m+1 \right){{x}^{2}}-\left( m+2 \r...

* Hướng dẫn giải

Hàm số \(y=f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\Leftrightarrow f'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}.\)

\(\Leftrightarrow {{m}^{2}}{{x}^{4}}-m\left( m+2 \right){{x}^{3}}+2\left( m+1 \right){{x}^{2}}-\left( m+2 \right)x+m\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\)

\(\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{m}^{2}}{{x}^{3}}-2mx+2x-m \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\)      \(\left( 1 \right)\)

Đặt \(g\left( x \right)={{m}^{2}}{{x}^{3}}-2mx+2x-m.\)

Từ \(\left( 1 \right)\) suy ra \(g\left( 1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=1 \\ & m=2 \\ \end{align} \right.\)

Thử lại, với \(m=1\) thì

\(\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{3}}-2x+2x-1 \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+x+1 \right),\forall x\in \mathbb{R}.\)

Điều này luôn đúng.

Thử lại, với \(m=2\) thì

\(\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( 2{{x}^{3}}-x-1 \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+{{(x+1)}^{2}} \right),\forall x\in \mathbb{R}.\)

Điều này luôn đúng.

Vậy \(m=1,m=2\) thỏa mãn bài toán.