Cho hàm số \(y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\) có đồ thị như hình vẽ sau: ​ Hỏi trong các số \(a,\,b,\,c,\,d\) có bao nhiêu số dương?

* Hướng dẫn giải

Đồ thị đã cho là hàm bậc 3. Vì khi \(x\to +\infty \) thì \(y\to +\infty \Rightarrow a>0\) (hay phí bên phải đồ thị hàm bậc 3 đồ thị đi lên nên a>0).

Xét \(y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c;y'=0\) có hai nghiệm phân biệt trái dấu nên suy ra \(a.c<0\Leftrightarrow c<0.\)

Xét \(y''=6ax+2b=0\Leftrightarrow x=\frac{-b}{3a},\) dựa vào đồ thị ta thấy hoành độ của điểm uốn âm.

Suy ra \(\frac{-b}{3a}<0\Rightarrow b>0.\)

Giao của đồ thị với trục tung là điểm có tọa độ \(\left( 0;d \right)\) nên d<0

Suy ra \(a>0,b>0,c<0,d<0.\)