Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) có \(AB=4a;\,\,BC=2a;\,\,A{A}'=2a\). Tính sin của góc giữa đường thẳng \(B{D}'\) và mặt phẳng \(\left( {A}'{C}'D \right)\).

* Hướng dẫn giải

Gọi \(O=A'C'\cap B'D',I=BD'\cap DO\) ta có I là trọng tâm tam giác A'C'D

Kẻ \(DH\bot A'C';D'K\bot DH\Rightarrow D'K\bot \left( DA'C' \right)\)

Vậy góc \(\left( BD',\left( DA'C' \right) \right)=\angle D'IK\)

\(D'I=\frac{1}{3}BD'=\frac{2\sqrt{6}}{3}a;\frac{1}{HD{{'}^{2}}}=\frac{1}{A'D{{'}^{2}}}+\frac{1}{D'C{{'}^{2}}}\Rightarrow D'H=\frac{4\sqrt{5}}{5}a\)

\(\frac{1}{D'{{K}^{2}}}=\frac{1}{D'{{D}^{2}}}+\frac{1}{D'{{H}^{2}}}\Rightarrow D'K=\frac{4}{3}a\)

\(\sin \alpha =\frac{D'K}{D'I}=\frac{\sqrt{6}}{3}.\)