Cho khối chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật có diện tích bằng \(3\sqrt{2}{{a}^{2}}\), \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(AM\) vuông góc với \(BD\) tại \(H\), \(SH\) vuôn...

* Hướng dẫn giải

Đặt \(AD=x,AB=y.\)

H là trọng tâm tam giác ABC nên \(d\left( D,\left( SAC \right) \right)=3d\left( H,\left( SAC \right) \right)=3HK\Rightarrow HK=\frac{a}{3}\)

Kẻ \(HI\bot AC\) tại I

\(AM=\sqrt{{{y}^{2}}+\frac{{{x}^{2}}}{4}}\Rightarrow AH=\frac{2}{3}\sqrt{{{y}^{2}}+\frac{{{x}^{2}}}{4}}.\)

\(BD=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\Rightarrow DH=\frac{2}{3}\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\)

\(D{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}=A{{D}^{2}}\Rightarrow x=a\sqrt{6};y=a\sqrt{3}.\)

\(HI=\frac{1}{3}d\left( D,AC \right)=\frac{a\sqrt{2}}{3};\frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{H{{I}^{2}}}+\frac{1}{H{{S}^{2}}}\Rightarrow HS=\frac{a\sqrt{2}}{3}\)

\(V=\frac{2{{a}^{3}}}{3}.\)