Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn \(\left[ -10;10 \right]\) của \)m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\frac{2x+m}{x+1}\) trên đoạn \(\left[ -4;-2 \right]\) không lớn hơn 1?

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(y'=\frac{2-m}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}.\)

TH1: m=2. Khi đó \(y=2\) nên m=1 không thỏa mãn bài toán.

TH2: m>2.

Khi đó hàm số nghịch biến trên \(\left[ -4;-2 \right].\)

Suy ra: \(\underset{\left[ -4;-2 \right]}{\mathop{\max }}\,y=y\left( -4 \right)=\frac{-8+m}{-3}=\frac{8-m}{3}.\)

Do đó: \(\underset{\left[ -4;-2 \right]}{\mathop{\max }}\,y\le 1\Leftrightarrow \frac{8-m}{3}\le 1\Leftrightarrow m\ge 5.\)

Kết hợp với m>2 ta có \(m\ge 5.\)

TH3: m>2.

Khi đó hàm số đồng biến trên \(\left[ -4;-2 \right].\)

Suy ra: \(\underset{\left[ -4;-2 \right]}{\mathop{\max }}\,y=y\left( -2 \right)=\frac{-4+m}{-1}=4-m.\)

Do đó: \(\underset{\left[ -4;-2 \right]}{\mathop{\max }}\,y\le 1\Leftrightarrow 4-m\le 1\Leftrightarrow m\ge 3.\)

TH này không xảy ra.

Vậy \(m\ge 5\) nên \(m\in \left\{ 5;6;7;8;9;10 \right\}.\)