Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên của hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) như sau: Tìm tất cả các giá trị của tham số...

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(f\left( x \right)+\frac{1}{4}{{x}^{4}}-{{x}^{3}}-3x-m\ge 0\Leftrightarrow m\le f\left( x \right)+\frac{1}{4}{{x}^{4}}-{{x}^{3}}-3x=g\left( x \right).\)                           (*)

Với \(g\left( x \right)=f\left( x \right)+\frac{1}{4}{{x}^{4}}-{{x}^{3}}-3x.\)

Khi đó: \(g'\left( x \right)=f'\left( x \right)+{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-3=f'\left( x \right)-3+{{x}^{2}}\left( x-3 \right).\)

Trên \(\left( -2;2 \right)\) thì \(f'\left( x \right)\le 3\) nên \(g'\left( x \right)\le 0.\)

Do đó: \(\left( * \right)\Leftrightarrow m\le g\left( 2 \right)=f\left( 2 \right)-10.\)