Tìm m để bất phương trình \(2{{x}^{3}}-6x+2m-1\le 0\) nghiệm đúng với mọi \(x\in \left[ -1;1 \right]\).

* Hướng dẫn giải

\(2{{x}^{3}}-6x+2m-1\le 0\Leftrightarrow m\le -{{x}^{3}}+3x+\frac{1}{2}=g\left( x \right)\text{ }\left( 1 \right)\)

Xét hàm số \(g\left( x \right)=-{{x}^{3}}+3x+\frac{1}{2}\) trên \(\left[ -1;1 \right].\)

\(g'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+3\)

\(g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+3=0\Leftrightarrow x=\pm 1.\)

\(g\left( -1 \right)=\frac{-3}{2};g\left( 1 \right)=\frac{5}{2}\)

\(\Rightarrow \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=\frac{-3}{2}.\)

Do đó: \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=\frac{-3}{2}.\)