Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\) , cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=12\) và mặt phẳng \(\left( P...

* Hướng dẫn giải

\(\left( Q \right)//\left( P \right)\) nên \(\left( Q \right):2x+2y-z+d=0\) với \(d\ne 3\)

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( 1;-2;3 \right)\) , bán kính \(R=2\sqrt{3}\)

Gọi \(\left( H \right)\) là khối nón thỏa đề bài có đường sinh \(l=R=2\sqrt{3}\)

Đặt \(x=h=d\left( I,\left( Q \right) \right)\) . Khi đó \({{r}^{2}}=12-{{x}^{2}}\)

Thể tích khối nón \(V=\frac{1}{3}\pi \left( 12-{{x}^{2}} \right)x\)  với \(0<x<2\sqrt{3}\)

Khảo sát hàm \(f\left( x \right)=V=\frac{1}{3}\pi \left( 12-{{x}^{2}} \right)x\) đạt giá trị lớn nhất tại \(x=2\) hay \(d\left( I,\left( Q \right) \right)=2\)

Khi đó tìm được d=-1 hoặc d=11 .

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right):2x+2y-z-1=0\) hoặc \(\left( Q \right):2x+2y-z+11=0\)