Xét các số phức z thỏa mãn \(\left| z+2-i \right|+\left| z-4-7i \right|=6\sqrt{2}\) . Gọi m,M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của \(\left| z-1+i \right|\) . Tính P=m...

* Hướng dẫn giải

Đặt \(w=z-1+i=a+bi\) với \(a,b\in \mathbb{R}\)

\(\left| \left( z-1+i \right)+3-2i \right|+\left| \left( z-1+i \right)+\left( -3-8i \right) \right|=6\sqrt{2}\) \(\left| w+3-2i \right|+\left| w+\left( -3-8i \right) \right|=6\sqrt{2}\)

Xét các điểm \(M\left( a;b \right) , A\left( -3;2 \right) , B\left( 3;8 \right)\)

Ta có: \(6\sqrt{2}=MA+MB\ge AB=6\sqrt{2}\)

Dấu  xảy ra \(\Leftrightarrow M\) thuộc đoạn AB . Do đó b=a+5 và \(-3\le a\le 3\)

Ta có \(\left| w \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}+10a+25}\) nên \(m=\text{min}\left| w \right|=\frac{5\sqrt{2}}{2} , M=\text{Max}\left| w \right|=\sqrt{73}\)

Suy ra  \(P=\frac{5\sqrt{2}+2\sqrt{73}}{2}\)