Biết rằng phương trình \(\log _{\sqrt{3}}^{2}x-m{{\log }_{\sqrt{3}}}x+1=0\) có nghiệm duy nhất nhỏ hơn \(1\). Hỏi \(m\) thuộc đoạn nào dưới đây?

* Hướng dẫn giải

Điều kiện \(x>0\) và \(x=1\) không là nghiệm của phương trình.

Đặt \(t={{\log }_{\sqrt{3}}}x\), do \(x<1\Rightarrow t<0\). Phương trình đã cho trở thành \({{t}^{2}}-mt+1=0\) \(\Leftrightarrow m=t+\frac{1}{t}\)

Đặt \(f\left( t \right)=t+\frac{1}{t}\) với \(t\in \left( -\infty ;0 \right)\), \({f}'\left( t \right)=1-\frac{1}{{{t}^{2}}}\), \({f}'\left( t \right)=0\)\(\Leftrightarrow t=-1\)\(\Rightarrow f\left( -1 \right)=-2\).

BBT:

Phương trình có nghiệm duy nhất khi \(m=-2\).