Trong không gian \(O\,xyz\), cho điểm \(A\left( 1;2;-1 \right)\), đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{-1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+y+2z+1=0\). Điểm B...

* Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=\left( 2;1;-1 \right)\). Gọi \(M\left( 1+2t;-1+t;2-t \right)\) thuộc đường thẳng d.

Ta có \(\overrightarrow{AM}=\left( 2t;t-3;3-t \right)\), \(AM\bot d\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{u}=0\)

\(\begin{align} & \Leftrightarrow 2\left( 2t \right)+\left( t-3 \right)-\left( 3-t \right)=0 \\ & \Leftrightarrow t=1 \\ \end{align}\)

\(\overrightarrow{AM}=\left( 2;-2;2 \right)\).

Đường thẳng AB có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 2 - t\\ z = - 1 + t \end{array} \right.\).

Tọa độ điểm B là nghiệm hệ \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 2 - t\\ z = - 1 + t\\ x + y + 2z + 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 0\\ y = 3\\ z = - 2 \end{array} \right.\).

Vậy \(B=\left( 0;3;-2 \right)\).