Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi nhưng luôn song song với đáy và cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. Gọi \({M}'\), \({...

* Hướng dẫn giải

Đặt \(\frac{SM}{SA}=k\) với \(k\in \left[ 0;1 \right]\).

Xét tam giác SAB có \(MN\text{//}AB\) nên \(\frac{MN}{AB}=\frac{SM}{SA}=k\)\(\Rightarrow MN=k.AB\)

Xét tam giác SAD có \(MQ\text{//}AD\) nên \(\frac{MQ}{AD}=\frac{SM}{SA}=k\)\(\Rightarrow MQ=k.AD\)

Kẻ đường cao SH của hình chóp. Xét tam giác SAH có:

\(M{M}'\text{//}SH\) nên \(\frac{M{M}'}{SH}=\frac{AM}{SA}=\frac{SA-SM}{SA}=1-\frac{SM}{SA}=1-k\)\(\Rightarrow M{M}'=\left( 1-k \right).SH\).

Ta có \({{V}_{MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'}}=MN.MQ.M{M}'=AB.AD.SH.{{k}^{2}}.\left( 1-k \right)\).

Mà \({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SH.AB.AD\) \(\Rightarrow {{V}_{MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'}}=3.{{V}_{S.ABCD}}.{{k}^{2}}.\left( 1-k \right)\).

Thể tích khối chóp không đổi nên \({{V}_{MNPQ.{M}'{N}'{P}'{Q}'}}\) đạt giá trị lớn nhất khi \({{k}^{2}}.\left( 1-k \right)\) lớn nhất.

Ta có \({{k}^{2}}.\left( k-1 \right)=\frac{2\left( 1-k \right).k.k}{2}\le \frac{1}{2}{{\left( \frac{2-2k+k+k}{3} \right)}^{3}}\)\(\Rightarrow {{k}^{2}}.\left( k-1 \right)\le \frac{4}{27}\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: \(2\left( 1-k \right)=k\)\(\Leftrightarrow k=\frac{2}{3}\).

Vậy \(\frac{SM}{SA}=\frac{2}{3}\).