Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn \(\left[ -2018;2018 \right]\) để hàm số \(y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+mx+1\) đồng biến trên khoảng \(\left( 1;+\infty \...

* Hướng dẫn giải

Tập xác định \(D=\mathbb{R},y'=3{{x}^{2}}-12x+m.\)

Hàm số \(y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+mx+1\) đồng biến trên khoảng \(\left( 1;+\infty  \right)\) khi và chỉ khi \(y'\ge 0,\forall x\in \left( 0;+\infty  \right)\)

\(\Leftrightarrow m\ge -3{{x}^{2}}+12x,\forall x\in \left( 0;+\infty  \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\max }}\,\left( -3{{x}^{2}}+12x \right)\Leftrightarrow m\ge 12\)

Do \(\left\{ \begin{align} & m\in \mathbb{Z} \\ & -2018\le m\le 2018 \\ \end{align} \right.\) nên \(m\in \left\{ 12,13,14,...,2018 \right\}.\)

Vậy có 2007 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.