Cho hàm số \(y=m{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2x+8m\) có đồ thị \(\left( {{C}_{m}} \right)\). Tìm tất cả giá trị tham số m để đồ thị \(\left( {{C}_{m}} \right)\) cắt trục hoành tại ba điểm p...

* Hướng dẫn giải

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{C_m}} \right)\) với trục hoành là

\(m{x^3} - {x^2} - 2x + 8m = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left[ {m{x^2} - \left( {2m + 1} \right) + 4m} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + 2 = 0\\ m{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + 4m = 0(1) \end{array} \right.\)

Để \(\left( {{C_m}} \right)\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt thì (1) có hai nghiệm phân biệt khác -2

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ \Delta = - 12{m^2} + 4m + 1 > 0\\ m.4 + \left( {2m + 1} \right)2 + 4m \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ - \frac{1}{6} < m < \frac{1}{2} \end{array} \right.\)