Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có AB = a, \(BC=a\sqrt{3}\), mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Thể tích V...

* Hướng dẫn giải

Gọi K là trung điểm của đoạn AB, ta có \(\Delta SAB\) đều \(\Rightarrow SK\bot AB\)

Mà \(\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right)\) theo giao tuyến AB

\(\Rightarrow SK\bot \left( ABC \right)\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SK.{{S}_{\Delta ABC}}\)

Ta có \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(AB=a,BC=a\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.a.a\sqrt{2}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}\)

\(\Delta SAB\) đều cạnh AB = a  \(\Rightarrow \) Đường cao \(SK=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}\)