Cho phương trình \(m{{\cos }^{2}}x-4\sin x\cos x+m-2=0\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình có đúng một nghiệm thuộc \(\left[ 0;\frac{\pi }{4} \right]\) ?

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(m{{\cos }^{2}}x-4\sin x\cos x+m-2=0\Leftrightarrow m\frac{1+\cos 2x}{2}-2\sin 2x+m-2=0\)

\(\Leftrightarrow m\cos 2x-4\sin 2x+3m-4=0\Leftrightarrow m=\frac{4+4\sin 2x}{3+\cos 2x}\)

Xét M trên \(\left[ 0;\frac{\pi }{4} \right]\) ta có \(f'\left( x \right)=\frac{8+24\cos 2x+8\sin 2x}{{{\left( 3+\cos 2x \right)}^{2}}}\)

Nhận xét \(f'\left( x \right)>0\) với mọi \(x\in \left[ 0;\frac{\pi }{4} \right]\) nên để phương trình có nghiệm trên \(\left[ 0;\frac{\pi }{4} \right]\) thì \(f\left( 0 \right)\le m\le f\left( \frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow 1\le m\le \frac{8}{3}\)

Khi đó phương trình \(m\cos 2x-4\sin 2x+3m-4=0\) có đúng một nghiệm trên \(\left[ 0;\frac{\pi }{4} \right]\)