Bài tập 27 trang 24 SGK Toán 12 NC

Bài tập 27 trang 24 SGK Toán 12 NC

a) TXĐ: D = [-3;1]; 

\(f\prime (x) = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {3 - 2x} }} < 0\) với mọi x < 3/2

Hàm số f nghịch biến trên đoạn [-3; 1]

Do đó: \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 3;1} \right]}  = f\left( { - 3} \right) = 3\)

\(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 3;1} \right]}  = f\left( 1 \right) = 1\)

b) TXĐ: D = [-2; 2]; 

\(f\prime (x) = 1 - \frac{x}{{4 - {x^2}}}\) với \(x \in ( - 2;2)\)

\(\begin{array}{l}
f\prime (x) = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{x}{{4 - {x^2}}} = 0\\
 \Leftrightarrow \sqrt {4 - {x^2}}  = x\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{0 < x < 2}\\
{4 - {x^2} = {x^2}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = \sqrt 2 
\end{array}\)

Ta có: \(f\left( { - 2} \right) =  - 2;f\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 ;f\left( 2 \right) = 2\)

Vậy \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in [ - 2;2]}  = 2\sqrt 2 \mathop {;\min f\left( x \right)}\limits_{x \in [ - 2;2]}  =  - 2\)

c) TXĐ: D = R

Ta có:

\(\begin{array}{l}
f(x) = {\sin ^4}x + 1 - {\sin ^2}x + 2\\
 = {\sin ^4}x - {\sin ^2}x + 3
\end{array}\)

Đặt \(t = si{n^2}x;0 \le t \le 1\)

Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm g(t)=t²−t+3 số trên đoạn [0;1]

g'(t) = 2t-1; g'(t) = 0 ⇔ t = 1/2

Ta có: g(0) = 3; g(1/2) = 11/4; g(1) = 3

Do đó:

\(\mathop {\min g(t)}\limits_{t \in [0;1]}  = \frac{{11}}{{14}};\mathop {\max g(t)}\limits_{t \in [0;1]}  = 3\)

Vậy \(\mathop {ming(t)}\limits_{x \in R}  = \frac{{11}}{{14}};\mathop {maxg(t)}\limits_{x \in R}  = 3\)

d) TXĐ: \(D = \left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\pi } \right]\)

f'(x)  = 1 - 2cos2x

\(\begin{array}{l}
f\prime (x) = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi }{3}\\
 \Leftrightarrow 2x =  \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \\
 \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z
\end{array}\)

Với \( - \frac{\pi }{2} < x < \pi ,f'\left( x \right) = 0\)  tại các điểm \(\frac{{ - \pi }}{6},\frac{\pi }{6},\frac{{5\pi }}{6}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
f\left( { - \frac{\pi }{6}} \right) =  - \frac{\pi }{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2};\\
f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{\pi }{6} - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\\
f\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = \frac{{5\pi }}{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}
\end{array}\)

\(f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) =  - \frac{\pi }{2};f\left( \pi  \right) = \pi \)

So sánh năm giá trị trên ta được 

\(\begin{array}{l}
\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\pi } \right]}  = \frac{{5\pi }}{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2};\\
\mathop {\min f(x)}\limits_{x \in \left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\pi } \right]}  = \frac{{ - \pi }}{2}
\end{array}\)

-- Mod Toán 12