Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên R , thỏa mãn f'(x)+x.f(x)

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Ta có $f\text{'}\left(x\right)+xf\left(x\right)=2x{e}^{-x^2}\iff f\text{'}\left(x\right).e^{\frac{x^2}{2}}+x.e^{\frac{x^2}{2}}.f\left(x\right)=2x{e}^{-\frac{x^2}{2}}$

$\iff \left(f\left(x\right).e^{\frac{x^2}{2}}\right)\text{'}=2x{e}^{-\frac{x^2}{2}}\Rightarrow f\left(x\right).e^{\frac{x^2}{2}}=-2\int e^{-\frac{x^2}{2}}d(-\frac{x^2}{2})$

$\Rightarrow f\left(x\right).e^{\frac{x^2}{2}}=-2e^{-\frac{x^2}{2}}+C$

Mà $f\left(0\right)=-2\Rightarrow C=0$

$\Rightarrow e^{\frac{1}{2}}f\left(1\right)=-2e^{-\frac{1}{2}}\Rightarrow f\left(1\right)=\frac{-2}{e}$