Với điều kiện ac(b^2 - 4ac) > 0 và ab < 0 thì đồ thị hàm số y = ax^4 + bx^2 + c

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ với đường thẳng y = 0.

Ta có:

$$\begin{gathered} y\text{'}=4a{x}^3+2bx=0\iff 2x\left(2a{x}^2+b\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x^2=-\frac{b}{2a}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ta có: $ab<0\Rightarrow a,b$ trái dấu $\Rightarrow -\frac{b}{2a}>0\Rightarrow$ phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt hay đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị.

+ với $x=0\Rightarrow y=c\Rightarrow A\left(0;c\right)$

+ với $x^2=-\frac{b}{2a}\Rightarrow x=\pm \sqrt{-\frac{b}{2a}}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow y=\frac{-a\left(b^2-4ac\right)}{4a^2} \\ \Rightarrow B\left(-\sqrt{-\frac{b}{2a}};\frac{-a\left(b^2-4ac\right)}{4a^2}\right),C\left(\sqrt{-\frac{b}{2a}};\frac{-a\left(b^2-4ac\right)}{4a^2}\right) \end{gathered}$$

Ta có: $ac\left(b^2-4ac\right)>0\iff \frac{-a\left(b^2-4ac\right)}{4a^2}.c<0\Rightarrow y_B.y_A<0$

$\Rightarrow$ các điểm cực đại và cực tiểu nằm khác phía so với trục hoành.

$\Rightarrow$ đồ thị hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.