Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trị tuyệt đối (sinx + cosx + tanx + cotx

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

$$\begin{gathered} y=\left|\sin x+\cos x+\tan x+\cot x+\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}\right| \\ y=\left|\sin x+\cos x+\frac{1+\sin x+\cos x}{\sin x\cos x}\right| \end{gathered}$$

Đặt $t=\sin x+\cos x\left(-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}\right)$ thì $\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$

Khi đó:

$y=\left|t+\frac{2\left(t+1\right)}{t^2-1}\right|=\left|t+\frac{2}{t-1}\right|=\left|t-1+\frac{2}{t-1}+1\right|$

Nếu $t-1>0\Rightarrow t-1+\frac{2}{t-1}+1\ge 2\sqrt{2}+1\Rightarrow y\ge 2\sqrt{2}+1$

Nếu $t-1<0\iff t<1$ thì ta viết lại $y=\left|1-t+\frac{2}{1-t}-1\right|$

Ta có: $1-t+\frac{2}{1-t}-1\ge 2\sqrt{2}\Rightarrow 1-t+\frac{2}{1-t}-1\ge 2\sqrt{2}-1$ hay $y\ge 2\sqrt{2}-1$

Vậy $y\ge 2\sqrt{2}-1$

Dấu bằng xảy ra $\iff {\left(1-t\right)}^2=2\iff t=1-\sqrt{2}\left(t<1\right)$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \sin x+\cos x=1-\sqrt{2} \\ \iff \sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1-\sqrt{2} \\ \iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1-\sqrt{2}}{2} \end{gathered}$$