Hai điểm M, N lần lượt thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số y = (3x - 1)/(x - 3

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ta có: $y=\frac{3x-1}{x-3}\Rightarrow y=3+\frac{8}{x-3}\Rightarrow y-3=\frac{8}{x-3}$

Đặt $\left\{\begin{array}{c}X=x-3\\ Y=y-3\end{array}\right.$. Ta có: $Y=\frac{8}{X}$

Gọi $M\left(X_1;\frac{8}{X_1}\right)$ thuộc nhánh trái, $N\left(X_2;\frac{8}{X_2}\right)$ thuộc nhánh phải của đồ thị hàm số,

Với $X_1<0<X_2$. Ta có: $M{N}^2={\left(X_2-X_1\right)}^2+64{\left(\frac{1}{X_2}-\frac{1}{X_1}\right)}^2$

$$\begin{gathered} \Rightarrow M{N}^2=2\sqrt{{\left(X_2-X_1\right)}^2.64{\left(\frac{1}{X_2}-\frac{1}{X_1}\right)}^2} \\ \Rightarrow M{N}^2\ge 16\left|\left(X_2-X_1\right)\left(\frac{1}{X_2}-\frac{1}{X_1}\right)\right| \\ \Rightarrow M{N}^2\ge 16\frac{\left(X_2-X_1\right)}{\left|X_1{X}_2\right|} \\ \Rightarrow M{N}^2\ge 16\frac{-4X_1{X}_2}{-X_1{X}_2}=64 \end{gathered}$$

Do vậy $MN\ge 8$

Dấu bằng xảy ra $\iff \left\{\begin{array}{c}{X}_2=-X_1\\ {\left(X_2-X_1\right)}^2=64{\left(\frac{1}{X_2}-\frac{1}{X_1}\right)}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{X}_1=-2\sqrt{2}\\ X_2=2\sqrt{2}\end{array}\right.$

Vậy với $M\left(-2\sqrt{2};-2\sqrt{2}\right);N\left(2\sqrt{2};2\sqrt{2}\right)$ thì MN có độ dài ngắn nhất bằng 8