Gọi d là đường thẳng đi qua A(2; 0) có hệ số góc m cắt đồ thị y = -x^3 + 6x^2

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Phương trình đường thẳng $d:y=m\left(x-2\right)$

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là:

$$\begin{gathered} -x^3+6x^2-9x+2=m\left(x-2\right) \\ \iff \left(x-2\right)\left(x^2-4x+m+1\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{c}x=2\Rightarrow A\left(2;0\right)\\ x^2-4x+m+1=0\left(1\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Để đồ thị hàm số (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt $x\ne 2$

Đk: $\left\{\begin{array}{c}\Delta >0\\ 4-8+m+1\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}4-m-1>0\\ m-3\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m<3\\ m\ne 3\end{array}\right.\iff m<3$

Giả sử $B\left(x_1;m{x}_1-2m\right),B\left(x_2;m{x}_2-2m\right)$ với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình (1)

Theo Vi-et: $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=4\\ x_1.x_2=m+1\end{array}\right.$

Vì $m>0\Rightarrow x_1>0,x_2>0$. Ta có $B\text{'}\left(0;m{x}_1-2m\right),C\text{'}\left(0;m{x}_2-2m\right)$

Ta có:

$$\begin{gathered} S_{BB\text{'}C\text{'}C}=\frac{1}{2}B\text{'}C\text{'}\left(BB\text{'}+CC\text{'}\right)=8 \\ \iff B\text{'}C\text{'}\left(BB\text{'}+CC\text{'}\right)=16\left(*\right) \end{gathered}$$

Mà $B\text{'}C\text{'}=\left|m\left(x_1-x_2\right)\right|,BB\text{'}=\left|x_1\right|=x_1;CC"=\left|x_2\right|=x_2$

Do đó (*) $\iff m\left|x_1-x_2\right|\left(x_1+x_2\right)=16$

$\iff m\left|x_1-x_2\right|=4\iff m^2{\left(x_1-x_2\right)}^2=16$

$$\begin{gathered} \iff m^2\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2\right]=16 \\ \iff m^2\left(16-4m-4\right)=16 \\ \iff m^3-3m^2+4=0\iff \left[\begin{array}{c}m=-1\\ m=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Kết hợp với m > 0 và m < 3 ta có m = 2