Cho x, y là những số thực thỏa mãn x^2 - xy + y^2 = 1. Gọi M và m lần lượt

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Ta có:

+ $1+xy=x^2+y^2\ge 2xy\iff xy\le 1$ vì ${\left(x-y\right)}^2=x^2+y^2-2xy\ge 0$

$$\begin{gathered} + x^2-xy+y^2=1\iff {\left(x+y\right)}^2-3xy=1 \\ \iff {\left(x+y\right)}^2=1+3xy\ge 0\iff xy\ge -\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Khi đó

$$\begin{gathered} P=\frac{x^4+y^4+1}{x^2+y^2+1}=\frac{{\left(x^2+y^2\right)}^2-2x^2{y}^2+1}{x^2+y^2+1} \\ =\frac{{\left(1+xy\right)}^2-2{\left(xy\right)}^2+1}{xy+2} \end{gathered}$$

Đặt $t=xy,t\in \left[-\frac{1}{3};1\right]$, xét hàm số $P=\frac{-t^2+2t+2}{t+2}$

$P\text{'}=\frac{-t^2-4t+2}{{}^2};P\text{'}=0\iff t=-2+\sqrt{6}$

Mà $P\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{11}{15};P\left(1\right)=1;P\left(-2+\sqrt{6}\right)=6-2\sqrt{6}$

Khi đó $m=P\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{11}{15};M=P\left(-2+\sqrt{6}\right)=6-2\sqrt{6}$

Vậy $A=M+15m=17-2\sqrt{6}$