Tìm m để hàm số y = (2cotx + 1)/(cotx + m) đồng biến trên khoảng (pi/4; pi/2

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Đặt $t=\cot x,x\in \left(\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right)\Rightarrow t\in \left(0;1\right)$

Xét hàm số $f\left(t\right)=\frac{2t+1}{t+m}$ trên khoảng $\left(0;1\right),t\ne -m$

Ta có: $f\text{'}\left(t\right)=\frac{2m-1}{{\left(t+m\right)}^2},\forall t\in \left(0;1\right),t\ne -m$

Khi đó để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left(\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right)$ thì f (t) nghịch biến trên khoảng $\left(0;1\right)$ (vì  $t\text{'}=\frac{-1}{{\sin }^{2}x}<0,\forall x\in \left(\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right)\iff f\text{'}\left(t\right)<0,\forall t\in \left(0;1\right),t\ne -m$)

Điều kiện:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}2m-1<0\\ -m\notin \left(0;1\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m<\frac{1}{2}\\ \left[\begin{array}{c}-m\le 0\\ -m\ge 1\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}m<\frac{1}{2}\\ \left[\begin{array}{c}m\ge 0\\ m\le -1\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}m\le -1\\ 0\le m<\frac{1}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$