Cho x, y là các số thực thỏa mãn x + y = căn (x - 1) + căn (2y + 2). Gọi M, m

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Đk: $x\ge 1;y\ge -1$. Đặt $t=x+y;t\ge 0$

Có $\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2}=\sqrt{x-1}+\sqrt{2}.\sqrt{y+1}\le \sqrt{3\left(x+y\right)}$

$\Rightarrow x+y\le \sqrt{3\left(x+y\right)}$

Vậy $t\le \sqrt{3}t\iff t^2-3t\le 0\iff 0\le t\le 3$

$P={\left(x+y\right)}^2+2\left(x+y\right)+2+8\sqrt{4-\left(x+y\right)}$ nên $P=t^2+2t+2+8\sqrt{4-t}$

$$\begin{gathered} P\text{'}=2t+2-\frac{4}{\sqrt{4-t}} \\ P\text{'}=0\iff \left(2t+2\right)\sqrt{4-t}=4 \\ \iff \left[\begin{array}{c}t=0\\ t=1\pm 2\sqrt{2}\notin \left[0;3\right]\end{array}\right. \\ P\left(0\right)=18;P\left(3\right)=25 \end{gathered}$$

Suy ra $M=25,m=18\Rightarrow M+m=43$