Cho các số thực dương x, y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 4xy^2

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

$$\begin{gathered} P=\frac{4x{y}^2}{{\left(x+\sqrt{x^2+4y^2}\right)}^3} \\ =\frac{4{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}{{\left(1+\sqrt{1+4{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}\right)}^3}\left(\forall x>0,y>0\right) \end{gathered}$$

Đặt $t=\sqrt{1+4{\left(\frac{y}{x}\right)}^2},t>1$. Khi đó biểu thức trở thành $P\left(t\right)=\frac{t^2-1}{{\left(t+1\right)}^3}=\frac{t-1}{{\left(t+1\right)}^2}$ với t > 1

$P\text{'}\left(t\right)=\frac{-t^2+2t+3}{{\left(t+1\right)}^4}=0\iff t=3$

Bảng biến thiên:

Vậy $\max P=P\left(3\right)=\frac{1}{8}$