Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = -2x + m cắt

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm $\frac{2x+3}{x+2}=-2x+m$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{c}x\ne -2\\ \left(x+2\right)\left(2x-m\right)+2x+3=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}x\ne -2\\ 2x^2-\left(m-6\right)x+3-2m=0\left(1\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đường thẳng $d:y=-2x+m$ cắt (H) tại hai điểm phân biệt

$\iff \left(1\right)$ có hai nghiệm phân biệt khác – 2

$\iff \left\{\begin{array}{c}\Delta ={\left(m-6\right)}^2-8\left(3-2m\right)>0\\ 2.{\left(-2\right)}^2-\left(m-6\right).\left(-2\right)+3-2m\ne 0\end{array}\left(*\right)\right.$

Khi đó $x_A,x_B$ là 2 nghiệm phân biệt của (1) $\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{x}_A+x_B=\frac{m-6}{2}\\ x_A{x}_B=\frac{3-2m}{2}\end{array}\right.\left(2\right)$

Ta có: $y\text{'}=\frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}\Rightarrow k_1=\frac{1}{{\left(x_A+2\right)}^2},k_2=\frac{1}{{\left(x_B+2\right)}^2}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow k_1{k}_2=\frac{1}{{\left[2\left(x_A+x_B\right)+x_A{x}_B+4\right]}^2} \\ =\frac{1}{{\left(m-6+\frac{3-2m}{2}+4\right)}^2}=4 \\ \Rightarrow P=k_1^{2018}+k_2^{2018}\ge 2\sqrt{k_1^{2018}{k}_2^{2018}}=2\sqrt{4^{2018}} \end{gathered}$$

Dầu bằng xảy ra

$$\begin{gathered} \iff k_1=k_2>0\Rightarrow \frac{1}{{\left(x_A+2\right)}^2}=\frac{1}{{\left(x_B+2\right)}^2} \\ \iff \left[\begin{array}{c}{x}_A+2=x_B+2\\ x_A+2=-\left(x_B+2\right)\end{array}\right.\left(3\right) \end{gathered}$$

Do $\left\{\begin{array}{c}A\ne B\\ A,B\in \left(H\right)\end{array}\right.\Rightarrow x_A\ne x_B$ nên $\left(3\right)\iff x_A+x_B=-4$

Kết hợp với (2) ta được $\frac{m-6}{2}=-4\iff m=-2$ (thỏa mãn)