Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Đường cong trong hình vẽ bên là

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Từ đồ thị ta thấy $f\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=-1\\ x=2\end{array}\right.$ và $f\text{'}\left(x\right)>0\iff x>2$

Xét $g\left(x\right)=f\left(x^2-2\right)$ có TXĐ: D = R

$g\text{'}\left(x\right)=2xf\text{'}\left(x^2-2\right)=2x.f\text{'}\left(t\right)$ với $t=x^2-2$

$g\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ t=x^2-2=-1\\ t=x^2-2=2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=\pm 1\\ x=\pm 2\end{array}\right.$

Có $f\text{'}\left(t\right)>0\iff t=x^2-2>2\iff \left[\begin{array}{c}x<-2\\ x>2\end{array}\right.$

$f\text{'}\left(t\right)<0\iff t=x^2-2<2\iff -2<x<2$

Suy ra:

$$\begin{gathered} g\text{'}\left(x\right)>0\iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}x>0\\ f\text{'}\left(t\right)>0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}x<0\\ f\text{'}\left(t\right)<0\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}x>0\\ x<-2;x>2\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}x<0\\ -2<x<2\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}x>2\\ -2<x<0\end{array}\right. \\ g\text{'}\left(x\right)<0\iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}x>0\\ f\text{'}\left(t\right)<0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}x<0\\ f\text{'}\left(t\right)>0\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}x>0\\ -2<x<2\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}x<0\\ x<-2;x>2\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}0<x<2\\ x<-2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Bẳng biến thiên:

Vậy hàm số y = g(x) đồng biến trên các khoảng $\left(-2;0\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$

Vậy hàm số y = g(x) nghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-2\right)$ và $\left(0;2\right)$

Vậy C sai