Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = sin^3 - 3cos^2x

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Đặt $\sin x=t,x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]\Rightarrow t\in \left[0;1\right]$

Xét hàm số $f\left(t\right)=t^3+3t^2-mt-4$ trên $\left[0;1\right]$

Ta có $f\text{'}\left(t\right)=3t^2+6t-m$

Để hàm số f(t) đồng biến trên $\left[0;1\right]$ cần:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(t\right)\ge 0,\forall t\in \left[0;1\right]\iff 3t^2+6t-m\ge 0,\forall t\in \left[0;1\right] \\ \iff 3t^2+6t\ge m,\forall t\in \left[0;1\right] \end{gathered}$$

Xét hàm số $g\left(t\right)=3t^2+6t$ trên $\left[0;1\right]$

$$\begin{gathered} g\text{'}\left(t\right)=6t+6 \\ g\text{'}\left(t\right)=0\iff t=-1\notin \left[0;1\right] \end{gathered}$$

BBT:

Nhìn bào BBT ta thấy với $m\le 0$ thì $g\left(t\right)\ge 0\ge m,\forall t\in \left[0;1\right]$, suy ra $f\text{'}\left(t\right)\ge 0,\forall t\in \left[0;1\right]$ hay f (t) đồng biến trên $\left[0;1\right]$

Vậy với  thì hàm số đã cho đồng biến trên đoạn $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$