Hàm số y = (x + m)^3 + (x + n)^3 - x^3 (tham số m, n) đồng biến trên khoảng

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ta có:

$$\begin{gathered} y\text{'}=3{\left(x+m\right)}^2+3{\left(x+n\right)}^2-3x^2 \\ =3\left[x^2+2\left(m+n\right)x+m^2+n^2\right] \end{gathered}$$

Hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;+\infty \right)\iff \left\{\begin{array}{c}a>0\\ \Delta \text{'}\le 0\end{array}\right.\iff mn\le 0$

TH1: $mn=0\iff \left[\begin{array}{c}m=0\\ n=0\end{array}\right.$

Do vai trò của m, n như nhau nên ta chỉ xét trường hợp m = 0

$\Rightarrow P=4n^2-n={\left(2n-\frac{1}{4}\right)}^2-\frac{1}{16}\ge -\frac{1}{16}\left(1\right)$

TH2: $mn<0\iff m>0;n<0$ (do vai trò của m, n như nhau)

Ta có: $P={\left(2m-\frac{1}{4}\right)}^2-\frac{1}{16}+4n^2+\left(-n\right)>-\frac{1}{16}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có $P_{\min }=-\frac{1}{16}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $m=\frac{1}{8},n=0$ hoặc $m=0,n=\frac{1}{8}$