Cho điểm A(1;3) và đường thẳng d: 2x – 3y + 4 = 0. Số đường thẳng qua A

* Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có VTPT $\overrightarrow{n_d}(2;-3)$

Gọi đường thẳng ∆ thỏa mãn có VTPT  $\overrightarrow{n_{\Delta }}(a;b)$

 Vì góc giữa hai đường thẳng bằng 60⁰ nên:

$\begin{array}{l}{\text{cos 60}}^0=\left|c\text{os ( }\overrightarrow{n_d};\overrightarrow{n_{\Delta }})\right|=\frac{\left|2a-3b\right|}{\sqrt{2^2+{(-3)}^2}.\sqrt{a^2+\text{}{b}^2}}\\ \iff \frac{1}{2}=\frac{\left|2a-3b\right|}{\sqrt{13}.\sqrt{a^2+\text{}{b}^2}}\iff \sqrt{13}.\sqrt{a^2+\text{}{b}^2}=2.\left|2a-3b\right|\\ \iff 13(a^2+\text{}{b}^2)=4(4a^2-12ab+\text{}9b^2)\\ \iff -3a^2+\text{}48ab-23b^2=0\iff -3{\left(\frac{a}{b}\right)}^2+\text{}48.\frac{a}{b}-23=0\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}(*)\end{array}$

Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt. Ứng với mỗi nghiệm ta tìm được 1 cặp số (a, b) là VTPT của đường thẳng ∆. Từ đó, ta viết được 2 phương trình đường thẳng ∆ thỏa mãn. 

ĐÁP ÁN C