Đường thẳng y = kx cắt elip x^2/a^2 +y^2/b^2 =1 tại hai điểm phân biệt

* Hướng dẫn giải

Giao điểm của đường thẳng y = kx và elip là nghiệm hệ: $\left\{\begin{array}{c}y=kx\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\left(1\right)\\ \frac{x^2}{a^2}+\text{}\frac{y^2}{b^2}=1\left(2\right)\end{array}\right.$

Thế (1) vào (2) ta được: 

$\frac{x^2}{a^2}+\text{}\frac{k^2.x^2}{b^2}=1\iff b^2{x}^2+\text{}{a}^2{k}^2{x}^2=a^2{b}^2\iff (b^2+\text{}{a}^2{k}^2)x^2=a^2{b}^2$ (*)

Ta thấy nếu $x = x_0$ là nghiệm phương trình (*) thì ( $-x_0$) cũng là nghiệm của (*)

Vây phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt là 2 số đối nhau. 

Mà y = kx nên tung độ của 2 giao điểm cũng là 2 số đối nhau.

Suy ra,  đường thẳng cắt elip tại 2 điểm đối xứng với nhau qua tâm O.

Đáp án A