Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\) và \(\int\limits_0^2 {f\left( {3x + 1} \right){\rm{d}}x} = 6...

* Hướng dẫn giải

\(A = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2 , B = \int\limits_0^2 {f\left( {3x + 1} \right){\rm{d}}x} = 6\) đặt \(t = 3x + 1 \Rightarrow dt = 3dx\)

Đổi cận : \(\left\langle \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 2 \Rightarrow t = 7\end{array} \right.\)

Ta có: \(B = \frac{1}{3}\int\limits_1^7 {f\left( t \right){\rm{dt}}} = 6 \Rightarrow \int\limits_1^7 {f\left( t \right){\rm{dt}}} = 18 \Rightarrow \int\limits_1^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x{\rm{ = 18}}} \).

Vậy \(I = \int\limits_0^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 20\)