Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {3;7} \right]\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) = f\left( {10 – x} \right)\) với \(\forall x \in \left[ {3;7} \right]\) và \...

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t = 10 – x \Rightarrow {\rm{d}}t = – {\rm{d}}x\). Đổi cận \(x = 3 \Rightarrow t = 7,\,\,x = 7 \Rightarrow t = 3\)

Khi đó \(I = – \int_7^3 {\left( {10 – t} \right)f\left( {10 – t} \right){\rm{d}}t} = \int_3^7 {\left( {10 – t} \right)f\left( {10 – t} \right){\rm{d}}t} = \int_3^7 {\left( {10 – x} \right)f\left( {10 – x} \right){\rm{d}}x} \) .

Vì \(f\left( x \right) = f\left( {10 – x} \right) \Rightarrow I = \int_3^7 {\left( {10 – x} \right)f\left( x \right){\rm{d}}x} = 10\int\limits_3^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x} – \int\limits_3^7 {xf\left( x \right){\rm{d}}x} \)

\( \Rightarrow I = 10.4 – I \Rightarrow I = 20\)