Cho số phức \(z = a + bi\,\left( {a,\,b \in \mathbb{Z}} \right)\) thỏa mãn \(\left| {z + 2 + 5i} \right| = 5\) và \(z.\bar z = 82\). Tính giá trị của biểu thức P = a + b.

* Hướng dẫn giải

Theo giả thiết ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {a + 2} \right)}^2} + {{\left( {b + 5} \right)}^2}} = 5\\{a^2} + {b^2} = 82\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ – 5b – 43}}{2}\,\,\,\left( 1 \right)\\{a^2} + {b^2} = 82\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Thay \(\left( 1 \right)\) vào \(\left( 2 \right)\) ta được \(29{b^2} + 430b + 1521 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = – 9\\b = \frac{{ – 169}}{{29}}\end{array} \right.\)

Vì \(b \in \mathbb{Z}\) nên \(b = – 9 \Rightarrow a = 1\). Do đó P = a + b = – 8