Trong không gian Oxyz, Cho hai điểm A(1; -3; 2) và B(-2; 1; -3). Xét hai điểm M và N thay đổi thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho MN = 1. Giá trị lớn nhất của \(\left| AM-BN \right|\) bằ...

* Hướng dẫn giải

Nhận xét: A và B nằm khác phía so với mặt phẳng (Oxy)

Gọi (P) là mặt phẳng qua A và song song với mặt phẳng (Oxy) => (P) : 2 z = 2

B' đối xứng với (P) qua mặt phẳng (P) => B'(-2;1;3)

B₁ là hình chiếu của B' lên (P) => B₁(-2;1;2)

Gọi \(A' = {T_{\overline {MN} }}(A) =  > \left\{ \begin{gathered}
  AA' = 1 \hfill \\
  AA'//(Oxy) \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.\)

=> A' thuộc đường tròn (C) có tâm A và bán kính R = 1, (C) nằm trên mặt phẳng (P).

Ta có: \(\left| {AM - BN} \right| = \left| {A'N - BN} \right| = \left| {A'N - B'N} \right| \leqslant A'B'\) 

AB₁ = 5 > R => B₁ nằm ngoài đường tròn (C)

Do A' \(\in\) (P), B' \(\notin\) (P) mà (P) // (Oxy) suy ra A'B' luôn cắt mp (Oxy)

Ta lại có \(A'B' = \sqrt {{B_1}B{'^2} + A'{B_1}^2} \) mà \(B'{B_1} = 1;A{B_1} = 5 =  > A'B{'_{max}} \Leftrightarrow A'{B_{1max}} = A{B_1} + R = 6\)

\(=  > {\left| {AM - BN} \right|_{max}} = \sqrt {37} \). Dấu "=" xảy ra khi A' là giao điểm AB₁ với đường tròn (C), A ở giữa A' và B₁ và N là giao điểm của A'B' với mặt phẳng (Oxy).

Chọn C