Có bao nhiêu số nguyên y sao cho tồn tại \(x\in \left( \frac{1}{3};4 \right)\) thỏa mãn \({{27}^{3{{x}^{2}}+xy}}=(1+xy){{27}^{12x}}\)?

* Hướng dẫn giải

Xét \({{27}^{3{{x}^{2}}+xy}} - (1+xy){{27}^{12x}}\)

Áp dụng bất đẳng thức: \({a^x} \geqslant x(a - 1) + 1\), ta có

\(f(x) \geqslant 26(3{x^2} + xy - 12x) + 1 - (1 + xy) = 78{x^2} + (25y - 312)x > 0,\forall y \geqslant 13\)

Do đó y ≤ 12

\(\begin{gathered}
  y = 0 =  > {27^{3{x^2} - 12}} = 1 <  =  > 3{x^2} - 12 = 0 <  =  > \left[ \begin{gathered}
  x = 0 \hfill \\
  x = 4 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.(loai) \hfill \\
  y \leqslant  - 3 =  > xy <  - 1 =  > VP < 0(loai) \hfill \\ 
\end{gathered} \)

y=-1; y = -2 (thỏa mãn)

Xét y > 0 có f(4) = 27^4y - (1 + 4y) ≥ 0, \(\forall \) y > 0 và \(f\left( {\frac{1}{3}} \right) = f(x) = {3^{y - 11}} - \frac{y}{3} - 1 < 0,\forall y \in {\text{\{ }}1;2;...;12\} \) 

Do đó pt f(x) = 0 có nghiệm \(x \in \left( {\frac{1}{3};4} \right),\forall y \in {\text{\{ }}1;2;...;12\} \)  

Vậy \(y \in {\text{\{  - 2; - 1;0;}}1;2;...;12\} \) 

Chọn B